Les recherches de Quentin Menet portent sur la théorie des opérateurs et plus précisément la dynamique linéaire… Mais qu’est-ce qu’un système dynamique ?
Un système dynamique consiste en la donnée d’un ensemble d’états X et d’une fonction f décrivant l’état suivant du système. Par exemple, si vous considérez un feu de circulation, vous pouvez considérer que votre ensemble d’états est {rouge, orange, vert} et que votre fonction f est définie par f(rouge)=vert, f(orange) = rouge et f(vert)=orange. Etant donné un état initial x, l’ensemble des états par lequel passera le système est appelé l’orbite de x. Si on se restreint à des ensembles d’états finis, la description des orbites est relativement triviale mais que se passe-t-il si l’ensemble des états est infini ?
Le but de la dynamique linéaire est donc d’étudier les propriétés des orbites d’un système dynamique dont l’ensemble des états est un espace vectoriel de dimension infinie et où la fonction f est un opérateur linéaire et continu.
L’hypercyclicité est une des notions les plus étudiées en dynamique linéaire et sur laquelle s’est penché aussi Quentin Menet, notamment dans le cadre de sa thèse de doctorat.
Une autre notion importante en dynamique linéaire qui occupe Quentin Menet est la notion de chaos. Celle-ci repose sur la cohabitation, dans chaque recoin de l’espace, d’états ayant des orbites denses et d’états, dit périodiques, dont l’orbite repasse par l’état initial et se répète donc indéfiniment. On peut ici penser à l’effet papillon qui repose sur l’idée qu’une petite perturbation peut avoir de grandes conséquences. Dans un système chaotique, une petite perturbation de l’état initial peut faire passer d’une orbite dense à une orbite périodique, orbites ayant des comportements complètement différents. Le lien entre le chaos et la fréquence de visites des orbites denses a occupé les chercheurs du domaine pendant plusieurs années.
Pour mieux comprendre la notion du chaos, vous pouvez consulter l’article : "Le chaos linéaire : un paradoxe ?" écrit par Quentin Menet et Karl Grosse-Erdmann et paru dans Intersices.
Enfin, Quentin Menet a récemment élargi ses recherches aux sous-espaces invariants qui, contrairement à l’hypercyclicité, revient à chercher des sous-espaces d’un espace d’états dans lesquels les orbites resteraient enfermées. Ces sous-espaces sont l’objet d’un problème très important en théorie des opérateurs appelé tout simplement : le problème du sous-espace invariant.
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